Hőtan
Hőtágulás
Lineáris (hosszmenti) hőtágulás
A testek melegítés hatására megnövelik a térfogatukat.
Ez azzal magyarázható, hogy a hőmérséklet emelkedésekor a testet alkotó részecskék hőmozgása felerősödik,
és az egyes részecskéknek így nagyobb a helyigénye a hőmozgás felerősödése miatt.
Ha egy test hosszmérete jóval nagyobb, mint a vastagsága (pl rudak, oszlopok, huzalok), akkor csak a hosszirányú változás számottevő.
Ilyenkor lineáris vagy hosszmenti hőtágulásról beszélünk
Azt a jelenséget, amikor a a testek hossza melegítés hatására megnő, lineáris hőtágulásnak levezzük.
A fenti ábra szerint a rúd hosszát t0 hőmérsékleten l0-val jelölve a rúd megnyúlása
$
\Delta l = l-l_0
$
lesz. A
$
\frac{l-l_0}{l_0}=\frac {\Delta l} {l_0}
$
mennyiséget relatív megnyúlásnak nevezzük. Megmutatja, hogy az eredeti hosszhoz képest hányadrésszel növekedik a rúd hossza.
A hőmérsékletváltozás a melegítés utáni t érték és a melegítés előtti t0 érték különbsége lesz: $\Delta t = t-t_0$.
A Lineáris hőtágulás törvénye
Egy rúd relatív megnyúlása egyenesen arányos a hőmérsékletváltozással. Az arányossági tényező a rúd anyagától függ.
A matematika nyelvén megfogalmazva: $$\bbox[#FFFFBB,5px,border:2px solid red] { \frac {\Delta l} {l_0}=\alpha \cdot \Delta t } $$ Az $\alpha$ arányossági tényezőt lineáris hőtágulási együtthatónak nevezzük. Mértékegysége $\frac 1 K$ vagy $\frac 1 {°C}$.A lineáris hőtágulási együttható anyagállandó, vagyis csak a rúd anyagától függ. Azt fejezi ki, hogy az adott rúd hányadrészével lesz hosszabb, ha a rudat 1 °C-kal felmelegítjük
A lineáris hőtágulás törvényét néhány algebrai átalakítás után másik alakban is felírhatjuk: $$\bbox[#FFFFBB,5px,border:2px solid red] { l=l_0\cdot(1+\alpha \cdot \Delta t) } $$Néhány anyag lineáris hőtágulási együtthatója (feladatokhoz):
| Anyag | Lineáris hőtágulási együtható ($\alpha \left( \frac 1 {°C }\right)$) |
|---|---|
| Alumínium | $$25\cdot 10^{-6} \frac 1 {°C }$$ |
| Arany | $$14\cdot 10^{-6} \frac 1 {°C }$$ |
| Ezüst | $$18\cdot 10^{-6} \frac 1 {°C }$$ |
| Beton | $$12\cdot 10^{-6} \frac 1 {°C }$$ |
| Sárgaréz | $$19\cdot 10^{-6} \frac 1 {°C }$$ |
| Üveg(sima) | $$9\cdot 10^{-6} \frac 1 {°C }$$ |
| Üveg(hőálló) | $$3\cdot 10^{-6} \frac 1 {°C }$$ |
| Vas | $$12\cdot 10^{-6} \frac 1 {°C }$$ |
| Vörösréz | $$17\cdot 10^{-6} \frac 1 {°C }$$ |
1. Példa
A Lánchíd hossza 400 méter. Télen a híd -25°C fokra is lehűlhet, nyáron +40°C fokra is felmelegedhet.
Számítsuk ki a híd hosszváltozását a két szélső hőmérséklet-érték között!
A hidat tekintsük összefüggő acélrúdnak ($\alpha=12\cdot 10^{-6} \frac 1 {°C }$).
Megoldás
Adott $$ \begin{multline} \shoveleft l_0=400\space m\\ \shoveleft \alpha=12\cdot 10^{-6} \frac 1 {°C }\\ \shoveleft t_0=-25°C\\ \shoveleft t=40°C\\ \shoveleft \Delta t = t-t_0=40-(-25)=65°C\\ \end{multline} $$ Keressük a $\Delta l$ megnyúlást. A lineáris hőtágulási törvényből $$ \frac {\Delta l} {l_0}=\alpha \cdot \Delta t \implies \Delta l = l_0\cdot \alpha\cdot \Delta t=400\cdot12\cdot 10^{-6}\cdot 65 = 312\space 000\cdot 10^{-6}\space m=312\cdot 10^{-3} m = 312\space mm. $$ Válasz
A híd hosszváltozása 312 mm, vagyis 31,2 cm.
A Lánchíd hossza 400 méter. Télen a híd -25°C fokra is lehűlhet, nyáron +40°C fokra is felmelegedhet.
Számítsuk ki a híd hosszváltozását a két szélső hőmérséklet-érték között!
A hidat tekintsük összefüggő acélrúdnak ($\alpha=12\cdot 10^{-6} \frac 1 {°C }$).
Megoldás
Adott $$ \begin{multline} \shoveleft l_0=400\space m\\ \shoveleft \alpha=12\cdot 10^{-6} \frac 1 {°C }\\ \shoveleft t_0=-25°C\\ \shoveleft t=40°C\\ \shoveleft \Delta t = t-t_0=40-(-25)=65°C\\ \end{multline} $$ Keressük a $\Delta l$ megnyúlást. A lineáris hőtágulási törvényből $$ \frac {\Delta l} {l_0}=\alpha \cdot \Delta t \implies \Delta l = l_0\cdot \alpha\cdot \Delta t=400\cdot12\cdot 10^{-6}\cdot 65 = 312\space 000\cdot 10^{-6}\space m=312\cdot 10^{-3} m = 312\space mm. $$ Válasz
A híd hosszváltozása 312 mm, vagyis 31,2 cm.
Feladatok
Végezzük el a számítást:
- A San Francisco-i Golden Gate hídra, ami acélból készült, hossza 1275 m, és a max hőingadozás arrafele -15°C és +40°C közötti.
- Az Öresund hídra, ami szintén acélból készült, hossza 7845 m, és a max hőingadozás arrafele -15°C és +25°C közötti. Az Öresund híd a svédországi Malmö városát köti össze Dánia fővárosával, Koppenhágával
2. Példa
A párizsi Eiffel torony magasságát lézerrel megmérték a hajnali órákban, és 320,94 m magasnak találták. A mérést elvégezték a korai délutáni órákban, ekkor a toroy magasságára 321 métert kaptak. Mekkora volt az aznapi hőingadozás? A torony acélból készült ($\alpha=12\cdot 10^{-6} \frac 1 {°C }$).
Megoldás
Adott $$ \begin{multline} \shoveleft l_0=320,94\space m\\ \shoveleft l=321\space m\\ \shoveleft \Delta l=l-l_0=0,06\space m\\ \shoveleft \alpha=12\cdot 10^{-6} \frac 1 {°C }\\ \end{multline} $$ Keressük a $\Delta t$ hőmérsékletváltozást. A lineáris hőtágulási törvényből $$ \frac {\Delta l} {l_0}=\alpha \cdot \Delta t \implies \Delta t = \frac {\Delta l}{l_0\cdot\alpha}=\frac{0,06}{320,94\cdot 12\cdot 10^{-6}}=15,58°C. $$ Válasz
Az aznapi hőingadozás 15,58°C volt..
A párizsi Eiffel torony magasságát lézerrel megmérték a hajnali órákban, és 320,94 m magasnak találták. A mérést elvégezték a korai délutáni órákban, ekkor a toroy magasságára 321 métert kaptak. Mekkora volt az aznapi hőingadozás? A torony acélból készült ($\alpha=12\cdot 10^{-6} \frac 1 {°C }$).
Megoldás
Adott $$ \begin{multline} \shoveleft l_0=320,94\space m\\ \shoveleft l=321\space m\\ \shoveleft \Delta l=l-l_0=0,06\space m\\ \shoveleft \alpha=12\cdot 10^{-6} \frac 1 {°C }\\ \end{multline} $$ Keressük a $\Delta t$ hőmérsékletváltozást. A lineáris hőtágulási törvényből $$ \frac {\Delta l} {l_0}=\alpha \cdot \Delta t \implies \Delta t = \frac {\Delta l}{l_0\cdot\alpha}=\frac{0,06}{320,94\cdot 12\cdot 10^{-6}}=15,58°C. $$ Válasz
Az aznapi hőingadozás 15,58°C volt..
Feladatok:
- Vasúti sínek között mekkora tágulási hézagot kell hagyni, ha a sínek hossza 10 m, és a hőmérséklet akár 35°C-al is nőhet ahhoz képest, amikor a sínt lerakták? a sín acélból készült.
- A Washington emlékmű egy 170 m magas mészkő oszlop az Egyesült Államok fővárosában. A mészkő lineáris tágulási együtthatója $\alpha = 6\cdot 10^{-6}\frac 1 {°C} $
Ha a magasságát -10°C hőmérsékleten mérték meg, milyen magas lesz az emlékmű 35°C -os nyári hőségben? - Mennyit változik egy 4 km hosszú acélcsőből készült vezeték hossza, ha a téli-nyári legnagyobb hőingadozás 50°C?
Térfogati hőtágulás
Melegítéskor a testeknek nem csak a hossza, hanem a szélessége és magassága is megnő. Amennyiben ez nem elhanyagolható mértékű, mint pl a rudaknál, akkor térfogati hőtágulásról beszélünk
Azt a jelenséget, melynek során egy test térfogata melegítés hatására megnő, térfogati hőtágulásnak nevezzük.
A jelenség a legerőteljesebb a gázoknál. A szilárd anyagok tágulnak legkevésbé. A folyadékok hőtágulása nagyobb mértékű a szilárd anyagokéhoz képest, de kisebb, mint a gázok esetén.A térfogati hőtágulás törvénye
Melegítéskor a testek relatív térfogatnövekedése egyenesen arányos a hőmérsékletváltozással.
Képlettel leírva: $$\bbox[#FFFFBB,5px,border:2px solid red] { \frac {\Delta V} {V_0}=\beta \cdot \Delta t } $$ ahol:- $\Delta V = V-V_0$ a térfogatváltozás
- $\frac {\Delta V}{V_0} = \frac{V-V_0}{V_0}$ a relatív térfogatváltozás
- A $\beta$ arányossági tényező a térfogati hőtágulási együttható, mértékegysége $\frac 1 K$ vagy $\frac 1 {°C}$
- $\Delta t = t-t_0$ a test hőmérsékletváltozása a melegítés hatására
| Anyag | Lineáris hőtágulási együtható ($\alpha \left( \frac 1 {°C }\right)$) | Térfogati hőtágulási együtható ($\beta \left( \frac 1 {°C }\right)$) |
|---|---|---|
| Alumínium | $$25\cdot 10^{-6} \frac 1 {°C }$$ | $$75\cdot 10^{-6} \frac 1 {°C }$$ |
| Arany | $$14\cdot 10^{-6} \frac 1 {°C }$$ | $$42\cdot 10^{-6} \frac 1 {°C }$$ |
| Ezüst | $$18\cdot 10^{-6} \frac 1 {°C }$$ | $$54\cdot 10^{-6} \frac 1 {°C }$$ |
| Beton | $$12\cdot 10^{-6} \frac 1 {°C }$$ | $$36\cdot 10^{-6} \frac 1 {°C }$$ |
| Sárgaréz | $$19\cdot 10^{-6} \frac 1 {°C }$$ | $$57\cdot 10^{-6} \frac 1 {°C }$$ |
| Üveg(sima) | $$9\cdot 10^{-6} \frac 1 {°C }$$ | $$27\cdot 10^{-6} \frac 1 {°C }$$ |
| Üveg(hőálló) | $$3\cdot 10^{-6} \frac 1 {°C }$$ | $$9\cdot 10^{-6} \frac 1 {°C }$$ |
| Vas | $$12\cdot 10^{-6} \frac 1 {°C }$$ | $$36\cdot 10^{-6} \frac 1 {°C }$$ |
| Vörösréz | $$17\cdot 10^{-6} \frac 1 {°C }$$ | $$51\cdot 10^{-6} \frac 1 {°C }$$ |
| Éter | $$1650\cdot 10^{-6} \frac 1 {°C }$$ | |
| Etilalkohol | $$1100\cdot 10^{-6} \frac 1 {°C }$$ | |
| Benzin | $$950\cdot 10^{-6} \frac 1 {°C }$$ | |
| Higany | $$180\cdot 10^{-6} \frac 1 {°C }$$ | |
| Glicerin | $$500\cdot 10^{-6} \frac 1 {°C }$$ | |
| Víz (10°C felett) | $$210\cdot 10^{-6} \frac 1 {°C }$$ | |
| Gázok légköri nyomáson | $$3663\cdot 10^{-6} \frac 1 {°C }$$ |
3. Példa
Adott egy 60 literes benzintank, színültig tele benzinnel. A benzin és a tank hőmérséklete +15°C. Mennyi benzin ömlik ki a tankból, ha a hőmérséklet +35°C-raa emelkedik? A tank acélból készült ($\beta=36\cdot 10^{-6} \frac 1 {°C }$), a benzin térfogati hőtágulási együtthatója $\beta=950\cdot 10^{-6} \frac 1 {°C }$
Megoldás
Itt a tank is kitágul, meg a benzin is, ám a benzin térfogati hőtágulási együthatója $\frac{950\cdot 10^{-6}}{36\cdot 10^{-6}}=26,39$-szer nagyobb, így a benzin kiömlik a tankból. Mivel a két hatás egymás ellen dolgozik, a két hőtágulási együttható különbségével számolhatunk, így $\beta = (950-36)\cdot 10^{-6}=914\cdot 10^{-6}\frac 1 {°C }$ $$ \begin{multline} \shoveleft V_0=60\space l = 60\space dm^3\\ \shoveleft t_0=15°C\\ \shoveleft t=35°C\\ \shoveleft \Delta t=t-t_0=35-15=20\space °C\\ \shoveleft \beta=914\cdot 10^{-6} \frac 1 {°C }\\ \end{multline} $$ Keressük a $\Delta V$ térfogatváltozást. A térfogati hőtágulási törvényből $$ \frac {\Delta V} {V_0}=\beta \cdot \Delta t \implies \Delta V = V_0\cdot\beta\cdot \Delta t=60\cdot 914\cdot 10^{-6}\cdot 20=1,0968 \space dm^3=1,0968 \space l. $$ Válasz
A benzintankból 1, 0968 liter benzin ömlik ki
Adott egy 60 literes benzintank, színültig tele benzinnel. A benzin és a tank hőmérséklete +15°C. Mennyi benzin ömlik ki a tankból, ha a hőmérséklet +35°C-raa emelkedik? A tank acélból készült ($\beta=36\cdot 10^{-6} \frac 1 {°C }$), a benzin térfogati hőtágulási együtthatója $\beta=950\cdot 10^{-6} \frac 1 {°C }$
Megoldás
Itt a tank is kitágul, meg a benzin is, ám a benzin térfogati hőtágulási együthatója $\frac{950\cdot 10^{-6}}{36\cdot 10^{-6}}=26,39$-szer nagyobb, így a benzin kiömlik a tankból. Mivel a két hatás egymás ellen dolgozik, a két hőtágulási együttható különbségével számolhatunk, így $\beta = (950-36)\cdot 10^{-6}=914\cdot 10^{-6}\frac 1 {°C }$ $$ \begin{multline} \shoveleft V_0=60\space l = 60\space dm^3\\ \shoveleft t_0=15°C\\ \shoveleft t=35°C\\ \shoveleft \Delta t=t-t_0=35-15=20\space °C\\ \shoveleft \beta=914\cdot 10^{-6} \frac 1 {°C }\\ \end{multline} $$ Keressük a $\Delta V$ térfogatváltozást. A térfogati hőtágulási törvényből $$ \frac {\Delta V} {V_0}=\beta \cdot \Delta t \implies \Delta V = V_0\cdot\beta\cdot \Delta t=60\cdot 914\cdot 10^{-6}\cdot 20=1,0968 \space dm^3=1,0968 \space l. $$ Válasz
A benzintankból 1, 0968 liter benzin ömlik ki
Feladatok:
- Egy 200 literes acéltartályban alkoholt tárolunk. A tartályt 10°C hőmérsékleten színültig van töltve. Mennyi szesz ömlik ki a tartályból, ha a hőmérséklet 25°C-ra emelkedik?
- Egy 10 m hosszú, 6 m széles, 3,5 m magas osztálytermet 10°C hőmérsékletről 23°C hőmérsékletre fűtünk fel. Mennyi levegő szökik ki az ajtó-és ablakréseken keresztül? A falak hőtágulása elhanyagolhatóan kicsi.
- Mennyit hosszabbodik egy hőmérőben a 3 cm hosszú higanyoszlop, ha a hőmérséklet 37°C-ról 40°C-ra emelkedik? A higany lineáris hőtágulási együtthatója $\beta = 180\cdot 10^{-6}\space \frac 1 {°C}$ ? Az eredményt ismerve magyarázzuk meg, hogy a hőmérők miért nem egyszerűen egy higannyal töltött vékony csőből állnak, és miért van egy szélesebb higanytartály a hőmérő üvegcsövének alsó részén!
Megjegyzések
Megjegyzés küldése