Elliptikus integrálok, elliptikus függvények
Az elliptikus integrálok olyan integrálok, amelyekben a négyzetgyök alatt egy negyedfokú polinom jelenik meg.
$$
f(x)=\int_c^x R(t, \sqrt{P(t)}) \,dt,
$$
ahol P(t) egy 3. vagy 4. fokú polinom, melynek gyökei különböznek, R pedig egy racionális függvény.
Ezeknek az integráloknak a primitívfüggvényeit általában nem lehet elemi függvényekkel véges alakban kifejezni.
Azonban minden elliptikus integrál megfelelő átalakításokkal olyan alakra hozható, amely az alábbi 3 integrált tartalmazza:
- Elsőfajú inkomplett elliptikus integrál: $$ \bbox[moccasin,5px,border:2px solid red] { F(\varphi,k)=\int_0^\varphi {\frac{\,dt}{\sqrt{1-k^2 \sin^2(t)}}} , }$$
- Másodfajú inkomplett elliptikus integrál: $$\bbox[moccasin,5px,border:2px solid red] { E(\varphi,k)=\int_0^\varphi \sqrt{1-k^2 \sin^2(t)} \,dt, } $$
- Másodfajú inkomplett elliptikus integrál: $$\bbox[moccasin,5px,border:2px solid red] { \Pi(\varphi,n, k)=\int_0^\varphi \frac {1}{1-n \sin^2(t)}\frac{\,dt}{\sqrt{1-k^2 \sin^2(t)}}, } $$
Az elliptikus függvények elmélete nagyon bonyolultnak, nehezen megfoghatónak tűnik a gyakorlatiasabb műszaki emberek számára.
Jelen írás célja az, hogy az elliptikus fügvényeket egy kicsit "testközelbe" hozza, és egy pár alkalmazáson keresztül e függvények hasznosságát bemutassa.
Ezeknek az elliptikus integráloknak, elliptikus függvényeknek az értékeit számítógéppel kiszámítani nem bonyolultabb dolog.
Nem bonyolultabb, mint pl. a sin(x), ln(x) vagy akár a $\sqrt{x}$ értékeinek kiszámítása, pedig ezek úgynevezett "elemi" függvények.
A mai kor emberének rendelkezésére áll a számítógép, ezért ezeknek a függvényeknek a rutiszerű felhasználása is indokoltabb lenne.
Jelen iromány nem tartalmaz bonyolult matematikai bizonyításokat, inkább az eredményeket közöl, amelyeket alkalmazni lehet.
Elemi függvények, nem elemi függvények
Mik is azok az elemi függvények?
Elemi függvények azok az f(x) függvények, amelyek tartalmaznak:
- hatványokat: $x,\space x^2,\space x^3, \space....$ stb.
- gyököket: $\sqrt{x},\space \sqrt[3]x, \space....$ stb.
- exponenciális függvényeket: $2^x, \space e^x \space ...$ stb.
- logaritmusokat: $log_a x $
- trigonometrikus függvényeket: $\sin(x), \cos(x)$ ... stb.
- inverz trigonometrikus függvényeket: $arcsin(x), arccos(x)$... stb.
- hiperbolikus függvényeket: $sh(x), ch(x)$... stb.
- minden függvény, amit úgy kapunk, hogy a fentiekben az x helyébe a felsorolt függvények valamelyikét helyettesítjük (a helyettesítések száma véges kell legyen)
- minden függvény, amit úgy kapunk, hogy a fentieket összeadjuk, kivonjuk, összeszorozzuk vagy elosztjuk (e műveleteket véges számszor alkalmazzuk)
De az a probléma, hogy a világunk nem mindig írható le kellő pontossággal lineáris folyamatok sokaságaként.
Na, ilyenkor jönnek elő a NEM elemi függvények...
Néhány példa nem elemi függvényekre
- A Gauss-féle hibafüggvény, amely a valószínűségszámításból ismert: $$ erf(x)=\int_0^x e^{-x^2}\,dx $$ Bár egyszerűnek tűnik, de ez a függvény nem adható meg elemi függvények fentebb leírt véges számú kombinációjaként.
- Az Airy-féle függvény, amellyel a fényelhajlás tanulmányozásánál találkozunk: $$ Ai(x)=\int_0^\infty \cos \left(\frac{t^3}{3}+xt \right) \,dt $$
- A integrálszinusz Si(x) és integrálkoszinusz Ci(x): $$ Si(x) \int_0^x\frac{\sin t}{t} \,dt $$ illetve $$ Ci(x) \int_0^x\frac{\cos t}{t} \,dt $$
-
A Jacobi féle elliptikus függvények: am(x, k), sn(x, k), cn(x, k), dn(x, k)
Ez utóbbiakkal és az elliptikus integrálokkal foglalkozunk a továbbiakban.
A Jacobi féle elliptikus függvények
A Jacobi-féle elliptikus függvényeket a szinusz és koszinusz függvények analógiája mentén vezetjük be.
A $\sin(\varphi)$ és $\cos(\varphi)$ függvényeket az egységkörön vezettük be, ahol a $\varphi$ szög az egységkörön mért ívhossz pozitív Ox tengelytől mérve.
Tetszőleges r sugarú körnél az u körívhosszat $u=r\varphi$ összesfüggés adja, ha $\varphi$-t radiánban mérjük.
Ezt a következőképpen is felírhatjuk:
$$
u=\int_0^\varphi r\,d\theta
$$
Mivel kör esetén r= állandó, adódik a fenti, $u=r\varphi$ összesfüggés.
Általánosítsuk ezt az integrált tetszőleges $r=r(\theta)$ poláris egyenletű görbére:
$$
u=\int_0^\varphi r(\theta)\,d\theta
$$
Ez esetben az integrál nem a görbe ívhosszát adja, hanem az ívhossz poláris összetevőjét.
A teljes ívhosszt a következő integrál adná:
$$
s=\int_0^\varphi \sqrt{r^2+\left(\frac{d r}{d\theta}\right)^2}\,d\theta,
$$
amiből mi csak az első tagot tartjuk meg.
Számítsuk ki ezt az u mennyiséget egy ellipszisre.
Az ellipszis egyenlete:
$$
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1
$$
Legyen a=1, b>1. Ez az ún. Jacobi ellipszis:
$$
x^2+\frac{y^2}{b^2}=1, \space b\gt 1
$$
Áttérve poláris koordinátákra:
$$
\begin{cases}
x=r\cos(\varphi)\\
y=r\sin(\varphi)\\
\end{cases}
$$
ekkor
$$
r(\theta, k)=\frac {1}{\sqrt{1-k^2 \sin^2(\theta)}}\\
k^2=1-\frac{1}{b^2}\\
$$
Itt a k az ún. elliptikus modulusz, vagy más néven excentricitás. Jelen esetben $0 \le k \le 1$.
Az $u(\varphi, k)$ poláris ívhossz erre az ellipszisre:
$$
u(\varphi, k)=\int_0^\varphi r(\theta, k)\,d\theta
$$
vagyis
$$\bbox[moccasin,5px,border:2px solid red]
{
u(\varphi, k)=\int_0^\varphi \frac {\,d\theta}{\sqrt{1-k^2 \sin^2(\theta)}}
}
$$
Ez utóbbi nem más, mint az elsőfajú inkomplett elliptikus integrál.
Na de mi is ez az u mennyiség?
|
|
Az u mennyiség az ábrán látható piros vonalkák összessége, ha az összegzést végtelenül kicsi ívdarabkákra végezzük el. Niels Henrik Abel norvég matematikusnak támadt az a zseniális ötlete, hogy az $u(\varphi, k)$ függvény inverzét vizsgálja. Ezt az inverz függvényt amplitúdó függvénynek nevezte: $$\bbox[moccasin,5px,border:2px solid red] { \varphi = am(u, k) } $$ Ez esetben az ábra zöld illetve piros szakasza: $$\bbox[moccasin,5px,border:2px solid red] { \begin{multline} \shoveleft \frac{x}{r}=\cos(\varphi)=cos(am(u, k))=cn(u, k)\\ \shoveleft \frac{y}{r}=\sin(\varphi)=sin(am(u, k))=sn(u, k)\\ \shoveleft \frac{1}{r}=\sqrt{1-k^2\sin(\varphi)}=\sqrt{1-k^2sn(u, k)}=dn(u, k)\\ \end{multline} } $$ A cn(u, k) koszinusz amplitudinisz-nak, a sn(u, k) szinusz amplitudinisz-nak, a dn(u, x) delta amplitudinisz-nak olvasandó. Niels Henrik Abel korai halála nem tette lehetővé azt, hogy munkáját kiteljesítse, 27 évesen meghalt tüdőbajban. Ezeket a függvényeket Carl Gustav Jacobi német matematikus tovább vizsgálta. Ezért nevezzük őket Jacobi-féle függvényeknek. |
Az am(u, k) amplitúdó függvény
A fenti meghatározás szerint az am(u, k) függvény csak a $0 \le k \le 1$ modulusz értékekre értelmezhető.
Azonban ez a függvény kiterjesszthető tetszőleges komplex k értékekre is.
Mi csak a $0 \le k \lt \infty$ értéktartományra fókuszálunk.
Fontosabb tulajdonságok
Az am(u, k) függvény az u paraméterben páratlan, ugyanis $$ am(-u, k)=-am(u, k) $$ Néhány nevezetes értéke: $$ \begin{multline} \shoveleft am(0, k)=0\\ \shoveleft am(K(k), k) =\frac\pi 2, \space ahol\\ \shoveleft K(k)=\int_0^{\frac\pi 2}\frac{\,d\theta}{\sqrt{1-k^2 sin^2(\theta)}}\\ \shoveleft am(u, 1)=gd(u)=2\arctan(e^u)-\frac \pi 2, \space ahol\space gd(x) \space a\space Gudermann\space függvény\\ \shoveleft am(u+K(k), k)= \arctan\left(k'\frac {sn(u, k)}{cn(u, k)}\right)+\frac\pi 2, \space ahol\space k'=\sqrt{1-k^2}\\ \shoveleft am(u+2K(k), k)=\pi +am(u, k)\\ \shoveleft am(u+3K(k), k)= \arctan\left(k'\frac {sn(u, k)}{cn(u, k)}\right)+\frac{3 \pi} {2}\\ \shoveleft am(u+4K(k), k)=2\pi +am(u, k)\\ \shoveleft am(u \pm v, k)=\arctan\left(tn(u, k)\cdot dn(v, k)\right) \pm \arctan\left(tn(v,k)\cdot dn(u, k)\right),\space tn(x, k) =\frac{sn(x, k)}{cn(x, k)}\\ \end{multline} $$ $k \gt 1$ értékekre is értelmezhető, ilyenkor a sn(u, k) függvény tulajdonságai szerint a moduluszt 0 és 1 közé transzformáljuk, az alábbiak szerint: $$ am(u, k)=\arcsin\left(\frac 1 k sn\left(ku, \frac 1 k\right)\right) $$Közelítő függvények
Ha $k^2 \lt\lt 1$:
$$
am(u, k)\approx u-\frac{k^2}{4}\left(u-\sin(u)\cos(u)\right)
$$
Még kisebb, elhanyagolható $k^2$-re:
$$
am(u, k)\approx u
$$
Ha $0.95\le k^2 \lt 1 \gt 0$ és $\lvert u\rvert \lt 1$:
$$
am(u, k)\approx gd(u)-\frac{\sqrt{1-k^2}}{4}\frac{\left(\sinh(u)\cosh(u)-u\right)}{\cosh(u)}
$$
Itt gd(u) a Gudermann függvény: $gd(u)=2\arctan(e^u)-\frac{\pi}{2}$.
Ha $k^2 \gt \gt 1$, és u nem túl nagy:
$$
am(u, k)\approx \frac{1}{k}sin(ku)
$$
Megjegyzések
Megjegyzés küldése